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Ob etwa ∞ nk+1 ∞ an = n=0 an k=0 n=nk f¨ ur jede beliebige streng monotone Folge (nk ) gilt. Satz. Ist ist auch ∞ n=0 an konvergent, ist (nk )k∈N eine streng monotone Folge, so nk+1 ∞ bk , k=0 bk = an n=nk konvergent, und zwar gegen denselben Limes. Man beachte, daß hier u ¨ber die an nichts weiter vorausgesetzt wird. Insbesondere m¨ ussen sie nicht notwendig nichtnegativ sein. ∞ Beweis. Die Partialsummenfolge von k=0 bk ist eine Teilfolge der Par∞ tialsummenfolge von n=0 an . Damit folgt die Behauptung aus einem entsprechenden Satz u ¨ber Folgen.

Eine komplexe Zahl ist ein “Ausdruck” der Gestalt a + ib, wo a und b reelle Zahlen bedeuten. Wer durch die Wendung “Ausdruck” verunsichert ist, aber Sicherheit bei der naiven Mengenlehre findet, der mag a+ib nur als eine andere Schreibweise f¨ ur das Paar (a, b) ∈ R2 interpretieren. Die Zahl a heißt Realteil, die Zahl b Imagin¨arteil von z = a+ib; in Symbolen a = (z), b = (z). Auf der Menge der komplexen Zahlen definiert man eine Addition und eine Multiplikation verm¨oge (a + ib) + (c + id) := (a + c) + i(b + d), (a + ib) · (c + id) := (ac − bd) + i(ad + bc).

2i Ist z reell, so besagt dies, daß cos x und sin x gerade gleich dem Realteil bzw. Imagin¨arteil von eix sind. Die Eulersche Identit¨at ist eine Quelle vieler weiterer Identit¨aten: Die gesamten Additionstheoreme s¨amtlicher aus der Schule bekannten trigonometrischen Funktionen oder ihrer Umkehrfunktionen sind lediglich eine einfache Folgerung der Eulerschen Identit¨at und der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion. Um sich dies klar vor Augen ¨ zu f¨ uhren, sollte man zur Ubung die oben formulierten Additionstheoreme f¨ ur sin und cos aus der Eulerschen Identit¨at und dem Additionstheorem der Exponentialfunktion ableiten (man kann im Wesentlichen den oben gegebenen Beweis f¨ ur die Additionstheoreme der hyperbolischen Funktionen abschreiben).

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