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3 Um welchen Betrag ∆l verl¨ angert sich das homogene konische Wellenst¨ uck (Elastizit¨ atsmodul E) unter der Wirkung einer Zugkraft F ? D d l L¨ osung Die Normalkraft N = F ist konstant, die Querschnittsfl¨ache A ver¨ anderlich. Mit σ = N/A folgt die Verl¨ angerung aus l ∆l = 0 1 ε dx = E l 0 1 σ dx = E l 0 N dx F = A E l 0 dx . A(x) Zur Ermittlung des ver¨ anderlichen Querschnitts A(x) z¨ ahlt man x zweckm¨ aßig von der Spitze des Kegelstumpfes. Aus dem Strahlensatz folgt mit der Hilfsgr¨ oße a f¨ ur den Durchmesser δ(x) = d x a x und damit f¨ ur die Fl¨ ache A(x) = d x2 π 2 π δ (x) = d2 2 .

EA Die kinematische Vertr¨ aglichkeitsbedingung verlangt, dass die Gesamtverschiebung des Punktes C gleich der Verk¨ urzung des Stabes 3 ist: (0) (1) (1) vC − vC = ∆l3 . Einsetzen ergibt X = S3 = 5 F 9 und (0) (1) S1 = S1 − S1 = 2 F, 9 (0) (1) S 4 = S4 − S4 = 2 F. 22 Der durch die Kraft F belastete Stabzweischlag (Dehnsteifigkeiten EA) ist bei C durch ein zus¨ atzliches Lager gehalten. a) Wie groß ist die Lagerkraft in C? b) Wie groß ist die Verschiebung von C? F C α 1 2 L¨ osung zu a) Aus dem Gleichgewicht ↓: F + S2 + S1 cos α = 0 , ←: C + S1 sin α = 0 , F C S2 S1 dem Elastizit¨ atsgesetz S 1 l1 , ∆l1 = EA C S 2 l2 ∆l2 = , EA ∆l2 und der Kinematik α ∆l1 = ∆l2 cos α sin α cos2 α F, 1 + cos3 α ∆l1 C 1 folgt durch Aufl¨ osen C= l S1 = − cos2 α F, 1 + cos3 α S2 = − 2 1 F.

L = F E a+l a dx π d2 x2 4 a2 = 4F a2 πE d2 − 1 x a+l . a Mit a+l a = D d ❀ folgt ∆l = a= d l D 1− d D 4F l . πEDd Probe: F¨ ur D = d (konstanter Querschnitt) wird ∆l = Fl 4F l = . 4 Ein homogener Pyramidenstumpf (Elastizit¨ atsmodul E) mit quadratischem Querschnitt wird auf seiner oberen Querschnittsfl¨ ache durch die Spannung σ0 belastet. 4 x a h Wie groß ist die Verschiebung u(x) eines Querschnittes an der Stelle x? b 2 L¨ osung Die Normalkraft ist konstant: N = −σ0 a . Damit folgt aus der kinematischen Beziehung ε = du/dx und dem Elastizit¨ atsgesetz ε = σ/E = N/EA zur Bestimmung von u zun¨ achst die Gleichung du = −σ0 a2 .

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